EBS 중학 학습 칼럼에서 ‘수학 만점 공부법’을 연재하고 있는 김성태 에이블 에듀케이션 대표는 수학적 사고력을 키우는 데 앞서 그 뜻을 먼저 정확히 알아야 한다고 말한다. “사고력 수학은 ‘수학적 논리’에 근거해 ‘다양한 해결 방법’을 ‘깊이 있게 생각하는 힘’을 말해요. 그러니까 얼마나 많이 생각하고, 얼마나 많은 방법을 알고 있느냐가 중요한 것이죠. 창의적인 생각들을 적절히 꺼내기 위해서는 기본적으로 탄탄한 개념 정리가 선행되어야 합니다.”

여기에 더해 사고력 수학을 위한 필수 요소는 충분한 시간을 들여 생각하는것이라고 말한다. “지금까지는 수학 공부를 양으로 승부하는 것으로 생각했어요. 배우는 양 자체도 많았기 때문에 어떻게든 진도를 빨리 빼려고 속도전에만 급급했죠. 하지만 수학은 하나의 문제를 풀더라도 긴 시간을 들여서 스스로 생각해보는 연습을 하는 것이 무엇보다 중요해요. 문제를 만났을 때 거기에 적용할 수 있는 개념들은 무엇인지 여러 개를 떠올려보고 각 개념과 풀이 방식에 따라 길을 만들어보는 거죠. 시행착오도 겪으면서 나만의 사고방식을 정립하고 풀이법을 만들어내야 합니다.” 그의 말에 따르면 사고력 수학은 미로 찾기와 같다. 누구든 미로 찾기를 할 때 한 번에, 단시간에 출구를 찾지 못한다. 다양한 시도 끝에 적절한 길을 찾아가는 것이다.

사고력을 죽이는 ‘유형별 공부법’
개념을 배울 때는 단순히 암기하는 것이 아니라 어떻게 해서 만들어진 것인지 그 원리를 이해해야 한다. 그러기 위해선 개념의 원리를 증명해보는 것도 좋은 방법이다. 그러고는 지금까지 배운 개념들을 서로 연결 지어본다. 해당 개념이나 공식들이 어떻게 확장되고 연결되어나가는지 그 흐름을 파악하고, 어떻게 변화할 수 있는지 예측할 수 있어야 한다는 것. 이제껏 배워 온 기본 개념들을 문제에 맞게 재구성하고 재결합하여 의미 있고 유용한 결과를 만들어내는 것이 수학적 사고력의 핵심이다.

“대부분의 학생들은 반복 학습을 통해 문제의 패턴을 암기하려고 해요. 되도록 많은 문제를 풀어내면서 풀이법을 통째로 외워버리는 것이죠. 이를 ‘패턴암기’라고도 해요. 지금까지 가장 높은 판매고를 기록하고, 현재 베스트 문제집으로 꼽히는 것이 대표적인 유형별 문제집인 ‘쎈 수학’이라는 것도 이런 실태를 방증해요.”

시중에 판매되고 있는 유형별 문제집은 비슷한 풀이 과정을 갖고 있는 문제들을 한데 묶은 것이다. 하지만 이런 문제집을 푸는 것은 문제를 분석하거나 풀이법을 고민하지 않게 만든다. 방금 전에 풀었던 문제와 크게 다르지 않기때문에 풀이 방법을 금세 외우게 되는 것이다. 그렇게 되면 학생들은 그 개념을 마스터했다고 생각하지만, 정작 다양한 유형의 것들과 혼재하여 문제를 내면 결과는 달라진다. 이러한 공부법은 문제집 안에서 유효할지 몰라도 통합적 사고력을 묻는 시험, 입시에서는 절대 통하지 않는다.

수학적 사고력을 키울 때 가장 핵심적인 과정은‘생각하는 힘을 기르는 것’. 생각의 힘을 키우고 사고력을 확장하는 방법은 무엇일까. 특히 초등 고학년, 중등 과정에서 유용한 방법들을 소개한다.
 

Long Term Slow Thinking
“많은 아이들이 수학 선행 학습을 초등학교 4학년부터 시작해요. 선행을 할 때는 1년 정도 앞서 미리 공부하는 아이들도 있고, 경시대회 등 시험을 준비하는 아이들은 그보다 더 빠르게 진도를 나가요. 하지만 선행 학습의 가장 큰 문제는 속도전에만 급급하다는 거예요. 어릴 때일수록 수학 공부를 할 때 여유를 갖고 충분한 시간을 들여야 해요. 많이 생각하고 푸는 연습을 해야 한다는 것이죠.”

문제를 받자마자 답을 구하기 위해 푸는 것이 아니라 팔짱을 끼고 앉아 문제를 들여다보며 생각하는 것만을 목적으로 해보자. 문제와 관련해 어떤 것을 배웠고, 그것들 중 무엇을 활용해야 하는지 다각도로 생각해본다. 이런 과정을 일컬어 ‘Long Term Slow Thinking’(오래 생각하기)이라고 한다. 이 과정이 습관화되면 고등 과정의 어려운 수학도 이해할 수 있는 사고력의 폭이 넓어진다. 오랜 시간을 들이지 않고도 자기만의 수학 접근법을 구축할 수 있게 되는것이다. 물론 자신의 논리 흐름이 옳은지 그른지 판단할 수 있는 기준이 없다는 약점이 있지만, 일단 사고하는 힘부터 기르고 그것이 익숙해졌을 때 그 과정을 말이나 글로 풀어 부모님이나 선생님에게 검증 받는 게 좋다.

math mind map을 그려라
시험을 보다가(혹은 숙제를 하다가) 풀이 방법이 생각나지 않으면 배운 내용들을 떠올려봐야 한다. 일단 내가 알고 있는 내용은 무엇인지, 그 내용들 중에 풀어야 할 문제와 관련이 있는 것은 무엇인지 생각해야 한다. 바로 이러한 과정이 시험에서 모르는 문제를 만났을 때 머릿속에서 일어나야 하는 논리적인 생각이다. 수학에 어려움을 느끼는 학생들은 이런 논리적인 과정이 부족한데, 이를 키우기 위해서는 ‘마인드맵’이 효과적이다.

수학 용어로 마인드맵을 그리는 것은 수학 이론의 흐름을 파악하고 개념의 흐름을 정리하는 일이다. 하나의 주제어를 정해놓고 지금까지 배운 개념들을 나열해보자. 그러면 연관성을 가진 개념들이 한눈에 보이게 된다. 이것은 마치 스마트폰을 사용할 때 비슷한 주제를 가진 애플리케이션끼리 한 폴더에 모아두는 것과 같다. 수학 문제를 풀면서 개념을 적용할 때, 카테고리를 나누어 두면 더 빨리 찾을 수 있다.

‘마인드맵 노트법’은 핵심 단어와 이미지를 사용하기 때문에 기억력과 이해력을 높이는 데 효과적일 뿐만 아니라 창의력과 문제 해결력까지도 신장시킬 수 있다. 수학 개념들 사이의 연결을 한층 더 강화시키고, 새로 접하는 정보를 기존의 지식에 재구성, 재구조화하여 보다 큰 틀로 통합시킬 수 있다. 중심 단어, 개념, 공식들과의 관계를 이해할 수 있는 것. 또 필요한 단어만을 기록함으로써 약 70%의 노트 작성 시간을 절약할 수 있고, 필요한 단어만 읽게 됨으로써 총 90% 이상의 복습 시간이 절약된다.

목차 보며 흐름 익히기
개념 공부를 탄탄히 하기 위해서는 개념의 구조화부터 해야 한다. 이는 배운 개념들을 머릿속에 연관 지어 저장하는 것. 지난 학년에서 배웠던 것을 제대로 이해하지 못하면 그다음 단계를 이해하기 어렵고, 점점 방황하게 되는 이유도 순차적으로 개념을 확장하는 방식으로 진행되는 수학의 본질을 파악하지못했기 때문이다. 모든 수학적 개념은 긴밀하게 연결되어 있기 때문에 이전에 배웠던 것들의 흐름을 파악하는 것이 중요하다. 그러려면 큰 그림을 봐야 하는데, 이를 위한 가장 쉬운 방법은 목차를 익히는 것이다. 우리가 배우는 여러 단원의 이름은 이미 수십 번씩 반복해서 듣고 봐왔기 때문에 낯설지 않으므로 순서만 기억하면 된다. 실제로 학생들에게 일주일 동안 하루에 2분씩만 목차 익히기를 하라고 반복시켰더니 한 학기 분량의 목차를 대부분 쉽게 이해했다. 수업 시작 전에, 또는 숙제 시작 전에 목차가 적혀 있는 부분을 펼치고 한 번씩 쭉 읽어보자. 이 방법을 통해 내가 공부했던 개념들을 하나로 묶을 수 있다.



문제 분류 카드 만들기
앞서 말했듯 가장 기피해야 할 것은 같은 유형의 문제를 생각없이 반복해서 푸는 것이다. 하지만 이와 반대로 자기가 만든 기준으로 새롭게 문제 유형을 분류해보는 방법은 권장할 만하다. 문제집을 사면 일단 그 안에 있는 문제들을 복사한다. 그리고 각 문제별로 잘라서 카드를 만든다. 기존의 문제들을 한 장에 하나씩 떨어뜨려 놓는 것. 그리고 하나씩 풀어본다. 그렇게 하다 보면 각각의 문제들 중에는 비슷한 과정이나 개념으로 풀려가는 것이 보인다. 그다음 자신이 생각하는 비슷한 유형의 문제들, 같은 개념을 필요로 하는 문제들을 조합해보고, 다시 흩트렸다가 조합하기를 반복한다. 이렇게 하면 다양한 사고와 개념을 개별적으로, 통합적으로 생각하는 연습이 된다.



수학을 토론하라
하버드 웨스트레이크 학교에서는 일찍이 수학에 디베이트 시간을 두었다. 교사가 개념에 대해 짧게 강의를 하고, 바로 학생들끼리 팀을 나누고 머리를 맞댄다. 개념 혹은 공식이 만들어지기까지 원리는 어떻게 적용된 것인지 역추적을 한다. 그리고 문제를 풀기 위해 다양한 방법을 제안한다. 학생들은 자기들끼리 이야기하면서 개념 풀이 방식을 찾아간다. 내가 가진 아이디어, 친구가 가진 아이디어를 비교하고 대입해본다. 그다음 각 팀끼리 또 한 번의 디베이트를 통해 배틀을 붙는다. 개념을 정확히 이해하고 다양한 예와 방법을 끌어오는 학생들이 이기게 된다. 이러한 경험을 통해 다채로운 발상을 접할 수 있다. 마음이 맞거나 실력이 비슷한 수준의 아이들끼리 3~5명씩 묶어서 어려운 문제를 풀어보는 스터디를 하는 것도 좋다.